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巧用数学建模解决实际应用问题

作者:连锦钊 庄河 来源:考试周刊 2019年105期
  摘 要:数学建模是数学六大核心素养之一,它是解决实际应用问题必备的素养,构建数学模型解决实际问题的关键是用数学语言、思想、方法等表达所要研究的生活中实际应用问题,也就是构建数学模型的应用,数学素质教育发展的灵魂所在。在信息技术高速发展、计算机广泛应用的今天,构建数学模型并借助现代化信息手段解决实际应用问题已成为推动数学科学技术广泛应用的重要途径。
  关键词:数学;模型;实际应用问题
  
  因为当前中学数学建模课程教学的理论研究与日常生活的实际应用之间还存在着较大的距离,即存在着来自多方面的因素,因此研究数学建模是很有必要。以下是个人结合日常建模中的教与学存在的问题做一些归纳:
  1. 从教师方面看,中学数学教师觉得数学建模课程教学信息量大而且新颖,甚至有些一线教师感到要灵活自如地应对生产生活等实际应用问题有一定难度;
  2. 从学习者方面看,大多数学生对普通的数学应试比较适应,而不习惯数学建模题型,由于传统的数学测试很容易让学生抓住某答题诀窍技巧并且在类似的测试中比较容易获得成绩,而数学建模题型具有一定的生活实际等特征,,因此难度增大;
  3. 从认识方面看,因为学生要面临着来自各种各样的考试,因此学习压力普遍较大。中学数学老师觉得数学建模课程备课量较大,并且要花费大量的时间与精力,担心没有足够课时去处理数学建模的教学,同时生活实际应用资料太多而且新颖,甚至有的老师还在想数学在其他领域的应用是否应该属于数学的教学范围。
  一、 构建数学模型解实际应用问题的一般过程
  (一) 分析理解题目
  分析问题的实际意义并且用已学过的数学变量来解析问题中的信息,把实际应用信息转化为数学语言;
  (二) 假设适当变量
  弄清所给题目信息,假设问题中的变量,并注明实际意义的范围;
  (三) 构建数学模型
  依题意得出变量、参数之间的数学关系;
  (四) 求解数学模型
  利用掌握的数学知识、思想、方法技巧等求解所得的数学模型;
  (五) 检验所求模型
  检验所求的解是否满足生活实际应用问题;
  (六) 评价与作答
  若检验所求的数学模型与生活实际应用问题相符,则对计算所得的结论做出恰当的解释并注意给出问题的实际意义,然后标明所构建的数学模型中变量的实际运用范围。相反,若所构建的数学模型与实际生活问题出入较大,则应对该数学模型进行必要的改进,并重复上述过程直至所得数学模型完全符合實际应用问题为止。
  二、 下面列举几个常见的构建数学模型解决实际问题案例
  (一) 函数模型
  通过观察图象(或散点图等)收集分析变量变量间的关系,并且构建符合实际问题的数学函数模型。利用计算工具处理数据,常用定义法、待定系数法等列出符合题意的数学函数模型。
  例1 某商店出售商品进价为每件80元,若销售价为每件100元,则每天可以出售100件该商品。若售价调低10x%,则售出的商品数量就会增加85x成(售价≥成本价)。
  (Ⅰ)如果商店一天的销售额为y元,求y关于x的表达式并写出x取值范围;
  (Ⅱ)如果这种商品一天的营业额不少于10260元,求x的取值集合。
  (二) 规划模型
  现实生活中存在着各种各样的“优选”“控制”等实际应用问题,通常构建数学中的不等式模型、线性规划模型等来求解。
  例2 某运载企业现有驾驶员12人和工人19人,该企业7辆载重量为6吨的Q型卡车和有8辆可载重量为10吨的P型卡车。现由至少72吨货物需送达A地,要求派用的车辆需载满且一次运完,P型卡车需配工人2名,一次运送可获利450元;Q型卡车需配工人1名,一次运送可获利350元。该企业如何恰当安排一天派用的两类卡车数辆可得最大利润。
  (四) 导数模型
  随着微积分的广泛应用,运用导数解决实际生活中的最值问题比比皆是。在充分理解实际问题中各种变量间关系的同时,构造出符合实际问题需要的数学函数模型f(x),并根据实际意义确定定义域;求解方程f′(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点;获得所求的最大(小)值;还原实际问题并作答。
  例4 某商家从销售某种商品的经验显示:该商品的日销售量
  y(千克)与销售单价x(元/千克)之间满足函数式y=ax-3+10(x-6)2(其中:3<x<6,a为常数),当销售单价是5元/千克时,每天可销售11千克。
  (Ⅰ)求a;
  (Ⅱ)当该商品成本为3元/千克时,求商场每天的最大利润,此时销售单价x为多少?
  分析:(Ⅰ)由题意得x=5时,y=11,故a2+10=11。即a=2。
  解(Ⅱ):由(Ⅰ)可知,该商品的日销售量y=2x-3+10×(x-6)2,
  所以所获得的利润
  f(x)=(x-3)2x-3+10(x-6)2
  =2+10(x-3)(x-6)2得:
  f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
  =30(x-4)·(x-6),(3<x<6)
  令f′(x)=0得x=4
  所以f(x)在区间(3,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减。
  由此可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点。
  所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值f(4)=42。
  答:商场每日销售该商品所获得的最大利润是42元,此时销售价格为4元/千克。
  (五) 不等式模型
  在应用不等式解决实际问题时,要注意四点:
  (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数;
  (2)建立相应的函数关系式,确定函数的定义域;
  (3)在定义域内,求出函数的最值;
  (4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案。
  例5 某单位计划投入3200元建造一长方体仓库,高度一定,它的后墙可利用现成的旧墙(不花钱),正面为铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部每平方米造价20元。请问仓库底面积S的最大值为多少?当实际投资不超过预算时,如果S达到最大时,那么正面的铁栅应设计为多长?
  解:设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则有S=xy。
  由题意得40x+2×45y+20xy=3200。
  由均值不等式得
  3200≥240x·90y+20xy=120xy+20xy
  =120S+20S。
  ∴S+6S≤160。即(S+16)(S-10)≤0。
  ∵S+16>0,∴S-10≤0,即S≤100。
  所以,S最大值为100,
  此时40x=90y,且xy=100,
  可得x=15,故铁栅的长应为15米。
  (六) 概率模型
  当前正处于大数据时代,为了得到有用的结论经常通过收集数据进行分类统计,然后应用统计与概率等的基础知识、基本思想或方法等构建数学模型来求解有关统计概率的实际生产生活问题。
  三、 小结
  培养学生构建数学模型以及运用模型解决实际问题的能力,既是数学教学的目标,也是提高学生数学核心素养的手段。在教学中,要使学生了解生活,体会现实中充满着数学。让学生从数学研究的角度出发,舍去无关因素和次要因素,保留其重要的数学关系,形成数学模型并解决实际问题。所以构建数学模型是解决实际问题的一种方法、一种技术、一种意识。
  作者详细通讯地址:福建省泉州第十六中学
  作者简介:连锦钊,庄河,福建省泉州市,福省泉州第十六中学。

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